Arithmétique
Divisibilité, PGCD, nombres premiers, fractions irréductibles : les fondamentaux de l'arithmétique au Brevet.
Introduction
L'arithmétique est l'étude des propriétés des nombres entiers. Au Brevet, tu dois savoir déterminer si un nombre est premier, calculer le PGCD de deux nombres et simplifier des fractions. Ces notions reviennent chaque année !
Points cles a retenir
- Un nombre premier n'a que deux diviseurs : 1 et lui-même (2, 3, 5, 7, 11, 13...)
- Critères de divisibilité : par 2 (pair), par 3 (somme des chiffres), par 5 (termine par 0 ou 5), par 9 (somme des chiffres)
- PGCD : le plus grand diviseur commun — méthode d'Euclide ou décomposition en facteurs premiers
- Fraction irréductible : on divise numérateur et dénominateur par leur PGCD
- Décomposition en facteurs premiers : tout entier ≥ 2 est un produit de nombres premiers
Formules essentielles
PGCD(a, b) = PGCD(b, r) où a = b × q + ra/b irréductible si PGCD(a, b) = 12, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29Exemples resolus
Calculer PGCD(84, 60)
84 = 60 × 1 + 24, puis 60 = 24 × 2 + 12, puis 24 = 12 × 2 + 0. Donc PGCD(84, 60) = 12
Simplifier 84/60
PGCD = 12, donc 84/60 = 7/5
Erreurs frequentes a eviter
- ✗Dire que 1 est un nombre premier (il n'en est pas un !)
- ✗Oublier de vérifier que la fraction est bien irréductible
- ✗Se tromper dans l'algorithme d'Euclide en inversant les rôles de a et b
Types d'exercices au Brevet
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Le calcul littéral est un pilier des mathématiques au Brevet. Il permet de généraliser des propriétés numériques et de résoudre des problèmes concrets. Maîtriser ce chapitre est essentiel pour réussir les exercices d\'algèbre et de géométrie, qui représentent une part importante de l\'épreuve. C\'est la clé pour traduire un énoncé en langage mathématique.
📖 Définition
Le calcul littéral consiste à manipuler des expressions contenant des lettres (appelées variables ou inconnues) qui représentent des nombres. Ces lettres permettent de travailler avec des nombres quelconques et d\'établir des formules générales. On peut y appliquer les mêmes règles de calcul que pour les nombres.
📝 Cours détaillé
Le calcul littéral repose sur la distributivité, la factorisation et la réduction. La distributivité permet de développer un produit : k(a + b) = ka + kb. La double distributivité s\'applique pour (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd. Réduire une expression signifie regrouper et additionner/soustraire les termes de même nature (les termes en \'x\' ensemble, les constantes ensemble). Factoriser est l\'opération inverse du développement : elle consiste à transformer une somme en produit en identifiant un facteur commun. Les identités remarquables sont des formules de développement et de factorisation spécifiques et très utiles. Il est crucial de respecter les règles de priorité des opérations (parenthèses, puis multiplication/division, puis addition/soustraction) et les règles des signes. Une expression littérale peut être évaluée en remplaçant les lettres par des valeurs numériques données. La simplification d\'expressions avec des quotients nécessite une attention particulière aux valeurs interdites (dénominateur non nul).
📐 Formules essentielles
Distributivité simple
k × (a + b) = k × a + k × b
Pour développer une expression avec un facteur devant une parenthèse.
Double distributivité
(a + b)(c + d) = a×c + a×d + b×c + b×d
Pour développer le produit de deux sommes.
Identité remarquable : Carré d\'une somme
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Pour développer ou factoriser une expression de la forme ( )².
Identité remarquable : Carré d\'une différence
(a - b)² = a² - 2ab + b²
Pour développer ou factoriser une expression de la forme ( )² avec un signe moins.
Identité remarquable : Produit d\'une somme et d\'une différence
(a + b)(a - b) = a² - b²
Pour développer ou factoriser une expression qui est le produit d\'une somme et d\'une différence des mêmes termes.
✅ Exemples résolus
📌 Développer et réduire A = 3(x + 5) - 2(4 - x)
Étape 1 : Développer. A = 3×x + 3×5 - 2×4 - 2×(-x) = 3x + 15 - 8 + 2x. Étape 2 : Réduire. On regroupe les termes en x et les constantes : A = (3x + 2x) + (15 - 8) = 5x + 7.
📌 Factoriser B = 4x² - 9 en utilisant une identité remarquable.
On reconnaît la forme a² - b². En effet, 4x² = (2x)² et 9 = 3². Donc a = 2x et b = 3. En appliquant la formule (a+b)(a-b), on obtient : B = (2x + 3)(2x - 3).
📌 Calculer la valeur de C = 2y² - 3y + 1 pour y = -2.
On remplace y par -2 : C = 2×(-2)² - 3×(-2) + 1. On calcule : (-2)² = 4, donc C = 2×4 - (-6) + 1 = 8 + 6 + 1 = 15.
⚠️ Pièges au Brevet
Ne pas oublier de réduire l\'expression après un développement. Une erreur classique est de mal gérer les signes, surtout avec un signe moins devant une parenthèses : -(a - b) = -a + b. Confondre développement et factorisation est aussi fréquent : développer c\'est transformer un produit en somme, factoriser c\'est l\'inverse. Enfin, appliquer de mémoire une identité remarquable sans vérifier la forme exacte de l\'expression.
🏋️ Exercices
Exercice 1
Développer et réduire D = (2x - 1)(3x + 4) - 5x(x - 2).
→ Étape 1 : Développer chaque produit. (2x-1)(3x+4) = 2x×3x + 2x×4 -1×3x -1×4 = 6x² + 8x - 3x - 4 = 6x² + 5x - 4. 5x(x-2) = 5x×x + 5x×(-2) = 5x² - 10x. Donc D = (6x² + 5x - 4) - (5x² - 10x). Étape 2 : Supprimer la parenthèse en faisant attention au signe moins : D = 6x² + 5x - 4 - 5x² + 10x. Étape 3 : Réduire : D = (6x² - 5x²) + (5x + 10x) - 4 = x² + 15x - 4.
Exercice 2
Factoriser E = 25x² - 20x + 4 et F = (x+1)² - 16.
→ Pour E : On reconnaît le début d\'un carré. 25x² = (5x)², 4 = 2², et 20x = 2×5x×2. C\'est donc le carré d\'une différence : E = (5x - 2)². Pour F : On a une différence de deux termes. (x+1)² est un carré et 16 = 4². C\'est de la forme a² - b² avec a=(x+1) et b=4. Donc F = [(x+1) + 4] × [(x+1) - 4] = (x + 5)(x - 3).
💡 Méthode
Pour réussir un exercice de calcul littéral au Brevet : 1) Lire calmement la consigne (développer, factoriser, réduire, calculer la valeur...). 2) Repérer la forme de l\'expression (somme, produit, identité remarquable potentielle). 3) Appliquer les règles étape par étape en écrivant les calculs intermédiaires. 4) Vérifier son résultat en redéveloppant une factorisation ou en testant avec une valeur numérique simple (sauf valeurs interdites). 5) Soigner la rédaction et la présentation pour éviter les erreurs de signe.
