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Géométrie
Transformations géométriques
Homothétie, rotation, agrandissement et réduction : les transformations géométriques au programme de 3ème.
Introduction
En 3ème, tu découvres l'homothétie (agrandissement/réduction) et approfondis la rotation. Ces transformations permettent de construire des figures, de démontrer des propriétés et de résoudre des problèmes du Brevet.
Points cles a retenir
- Homothétie de centre O et rapport k : chaque point M a une image M' telle que OM' = k × OM
- Si |k| > 1 : agrandissement ; si |k| < 1 : réduction ; si k < 0 : l'image est de l'autre côté
- L'homothétie conserve les angles et les rapports de longueurs
- Les longueurs sont multipliées par |k|, les aires par k², les volumes par |k|³
- Rotation : centre, angle, sens — conserve les longueurs et les angles
Formules essentielles
Homothétie
OM' = k × OM (O = centre, k = rapport)Rapport de longueurs
L' = |k| × LRapport d'aires
A' = k² × ARapport de volumes
V' = |k|³ × VExemples resolus
Enonce
Un plan à l'échelle 1/200. La longueur réelle d'un mur est 8 m. Quelle est sa longueur sur le plan ?
Solution
k = 1/200, donc L' = 8/200 = 0,04 m = 4 cm
Enonce
Une maquette est réduite au 1/50. L'aire réelle est 200 m². Quelle est l'aire sur la maquette ?
Solution
A' = (1/50)² × 200 = 200/2500 = 0,08 m² = 800 cm²
Erreurs frequentes a eviter
- ✗Confondre rapport de longueurs (k), d'aires (k²) et de volumes (k³)
- ✗Oublier que k peut être négatif (l'image est alors de l'autre côté du centre)
- ✗Ne pas vérifier que le centre est bien aligné avec le point et son image
Types d'exercices au Brevet
Construire une image par homothétieCalculs d'agrandissement/réductionProblèmes d'échelle
