Fiches

La fonction exponentielle

Savoir définir la fonction exponentielle comme unique fonction dérivable sur ℝ telle que f' = f et f(0) = 1, utiliser ses propriétés algébriques pour transformer une expression, connaître son signe, son sens de variation et sa courbe, dériver t ↦ e^{at} et modéliser une croissance ou une décroissance exponentielle.

1reMathématiques

Lire les points essentiels

Consulter les définitions clés

Étudier un exemple guidé

Ce que dit la fiche

Les points essentiels

La fonction exponentielle est l'unique fonction dérivable sur ℝ telle que f' = f et f(0) = 1. Son existence et son unicité sont admises.
Pour tous réels x et y, exp(x+y) = exp(x) × exp(y). Cette propriété algébrique sert à transformer les expressions.
Pour tout réel x, exp(x) × exp(-x) = 1. Donc exp(x) est toujours strictement positif.
Pour tous réels x et y, on a exp(x-y) = exp(x) / exp(y) et exp(-x) = 1 / exp(x).
Le nombre e est l'image de 1 : e = exp(1), avec e ≈ 2,718. On note e^{x} le nombre exp(x).
La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ. Sa courbe passe par le point de coordonnées (0 ; 1).
Pour tout réel a, la fonction t ↦ e^{at} a pour dérivée t ↦ a e^{at}.
Pour k > 0, la fonction t ↦ e^{kt} est croissante et la fonction t ↦ e^{-kt} est décroissante : ces fonctions servent à modéliser une évolution à taux fixe ou une décroissance radioactive.
Pour tout entier naturel n, exp(n) = e^{n} : la suite des exp(n) est géométrique de raison e.

Les mots à connaître

Fonction exponentielle: La fonction exponentielle est l'unique fonction dérivable sur ℝ dont la dérivée est elle-même et qui vérifie f(0) = 1. On la note exp.
Nombre e: Le nombre e est l'image de 1 par la fonction exponentielle : e = exp(1). C'est un nombre réel, e ≈ 2,718.
Notation e^{x}: Pour tout réel x, e^{x} désigne le nombre exp(x). Les deux écritures exp(x) et e^{x} ont exactement le même sens.

La méthode, étape par étape

Transformer une expression — étape 1 : repère les exponentielles présentes et leurs exposants.
Transformer une expression — étape 2 : utilise exp(x+y) = exp(x) × exp(y) pour regrouper deux facteurs en une seule exponentielle.
Transformer une expression — étape 3 : utilise exp(-x) = 1 / exp(x) et exp(x-y) = exp(x) / exp(y) pour gérer les quotients.
Transformer une expression — étape 4 : additionne ou soustrais les exposants, puis vérifie le résultat en remplaçant x par une valeur simple.
Dériver t ↦ e^{at} — étape 1 : reconnais la forme t ↦ e^{at} et repère la valeur du réel a.
Dériver t ↦ e^{at} — étape 2 : applique f'(t) = a e^{at} en conservant l'exposant a t.
Étudier une évolution — étape 1 : écris la grandeur sous la forme C_{0} e^{kt} et identifie le signe de k.
Étudier une évolution — étape 2 : si k > 0 la grandeur croît, si k < 0 elle décroît, puis calcule la valeur demandée.

Des exemples résolus

Simplifie l'expression A = e^{2x} × e^{-x} × e^{-x} pour tout réel x.

Correction

A = e^{2x} × e^{-x} × e^{-x}. On regroupe les exposants avec exp(x+y) = exp(x) × exp(y) : A = e^{2x} × e^{-x-x} = e^{2x} × e^{-2x}. Or exp(2x) × exp(-2x) = 1. Donc A = 1.

Calcule la dérivée de la fonction f définie sur ℝ par f(t) = e^{5t}.

Correction

f est de la forme t ↦ e^{at} avec a = 5. La dérivée vaut f'(t) = a e^{at}. Donc f'(t) = 5 e^{5t}.

Un capital initial C_{0} est placé à taux fixe. On pose C(t) = C_{0} e^{0,03t} pour t en années. Calcule C(1) arrondi à 10^{-3} près et indique le sens de variation de C.

Correction

On remplace t par 1 : C(1) = C_{0} e^{0,03×1} = C_{0} e^{0,03}. Or e^{0,03} ≈ 1,030. Donc C(1) ≈ 1,030 C_{0}. Ici k = 0,03 > 0, donc la fonction t ↦ e^{0,03t} est croissante, et le capital C(t) augmente.

Les pièges à éviter

Confondre exp(x+y) et exp(x) + exp(y).
Croire que exp(x) peut être négatif.
Oublier le facteur a en dérivant t ↦ e^{at} et écrire e^{at}.

Teste-toi

Simplifie l'expression e^{x+1} / e^{x} pour tout réel x.
Voir la réponse
e^{x+1} / e^{x} = e.
On utilise exp(x-y) = exp(x) / exp(y) : e^{x+1} / e^{x} = e^{(x+1)-x} = e^{1} = e.
Donne la dérivée de la fonction g définie sur ℝ par g(t) = e^{-2t}.
Voir la réponse
g'(t) = -2 e^{-2t}.
g est de la forme t ↦ e^{at} avec a = -2. La dérivée est g'(t) = a e^{at}, donc g'(t) = -2 e^{-2t}.
Indique le sens de variation de la fonction exponentielle sur ℝ et justifie-le.
Voir la réponse
La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ.
Sa dérivée est elle-même, donc exp'(x) = exp(x). Or exp(x) > 0 pour tout réel x. Une dérivée strictement positive donne une fonction strictement croissante.

Ce que tu vas découvrir

La fonction exponentielle est l'unique fonction dérivable sur ℝ telle que f' = f et f(0) = 1. Son existence et son unicité sont admises.
Pour tous réels x et y, exp(x+y) = exp(x) × exp(y). Cette propriété algébrique sert à transformer les expressions.
Pour tout réel x, exp(x) × exp(-x) = 1. Donc exp(x) est toujours strictement positif.
Pour tous réels x et y, on a exp(x-y) = exp(x) / exp(y) et exp(-x) = 1 / exp(x).

Dans cette expérience

Lire les points essentiels
Consulter les définitions clés
Étudier un exemple guidé

Pour quel niveau ?

1re
Mathématiques

Cette fiche fait partie de notre collection MathématiquesDécouvre toutes nos fiches de 3e pour réviser efficacement !

Voir toutes les fiches de 3e

Chargement…

Les points essentiels

La fonction exponentielle est l'unique fonction dérivable sur ℝ telle que f' = f et f(0) = 1. Son existence et son unicité sont admises.

Pour tous réels x et y, exp(x+y) = exp(x) × exp(y). Cette propriété algébrique sert à transformer les expressions.

Pour tout réel x, exp(x) × exp(-x) = 1. Donc exp(x) est toujours strictement positif.

Pour tous réels x et y, on a exp(x-y) = exp(x) / exp(y) et exp(-x) = 1 / exp(x).

Le nombre e est l'image de 1 : e = exp(1), avec e ≈ 2,718. On note e^{x} le nombre exp(x).

La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ. Sa courbe passe par le point de coordonnées (0 ; 1).

Pour tout réel a, la fonction t ↦ e^{at} a pour dérivée t ↦ a e^{at}.

Pour k > 0, la fonction t ↦ e^{kt} est croissante et la fonction t ↦ e^{-kt} est décroissante : ces fonctions servent à modéliser une évolution à taux fixe ou une décroissance radioactive.

Pour tout entier naturel n, exp(n) = e^{n} : la suite des exp(n) est géométrique de raison e.

Les mots à connaître

Fonction exponentielle

La fonction exponentielle est l'unique fonction dérivable sur ℝ dont la dérivée est elle-même et qui vérifie f(0) = 1. On la note exp.

Nombre e

Le nombre e est l'image de 1 par la fonction exponentielle : e = exp(1). C'est un nombre réel, e ≈ 2,718.

Notation e^{x}

Pour tout réel x, e^{x} désigne le nombre exp(x). Les deux écritures exp(x) et e^{x} ont exactement le même sens.

La méthode, étape par étape

Transformer une expression — étape 1 : repère les exponentielles présentes et leurs exposants.

Transformer une expression — étape 2 : utilise exp(x+y) = exp(x) × exp(y) pour regrouper deux facteurs en une seule exponentielle.

Transformer une expression — étape 3 : utilise exp(-x) = 1 / exp(x) et exp(x-y) = exp(x) / exp(y) pour gérer les quotients.

Transformer une expression — étape 4 : additionne ou soustrais les exposants, puis vérifie le résultat en remplaçant x par une valeur simple.

Dériver t ↦ e^{at} — étape 1 : reconnais la forme t ↦ e^{at} et repère la valeur du réel a.

Dériver t ↦ e^{at} — étape 2 : applique f'(t) = a e^{at} en conservant l'exposant a t.

Étudier une évolution — étape 1 : écris la grandeur sous la forme C_{0} e^{kt} et identifie le signe de k.

Étudier une évolution — étape 2 : si k > 0 la grandeur croît, si k < 0 elle décroît, puis calcule la valeur demandée.

Des exemples résolus

Simplifie l'expression A = e^{2x} × e^{-x} × e^{-x} pour tout réel x.

Correction

A = e^{2x} × e^{-x} × e^{-x}. On regroupe les exposants avec exp(x+y) = exp(x) × exp(y) : A = e^{2x} × e^{-x-x} = e^{2x} × e^{-2x}. Or exp(2x) × exp(-2x) = 1. Donc A = 1.

Calcule la dérivée de la fonction f définie sur ℝ par f(t) = e^{5t}.

Correction

f est de la forme t ↦ e^{at} avec a = 5. La dérivée vaut f'(t) = a e^{at}. Donc f'(t) = 5 e^{5t}.

Un capital initial C_{0} est placé à taux fixe. On pose C(t) = C_{0} e^{0,03t} pour t en années. Calcule C(1) arrondi à 10^{-3} près et indique le sens de variation de C.

Correction

Teste-toi

Simplifie l'expression e^{x+1} / e^{x} pour tout réel x.

Voir la réponse

e^{x+1} / e^{x} = e.

On utilise exp(x-y) = exp(x) / exp(y) : e^{x+1} / e^{x} = e^{(x+1)-x} = e^{1} = e.

Donne la dérivée de la fonction g définie sur ℝ par g(t) = e^{-2t}.

Voir la réponse

g'(t) = -2 e^{-2t}.

g est de la forme t ↦ e^{at} avec a = -2. La dérivée est g'(t) = a e^{at}, donc g'(t) = -2 e^{-2t}.

Indique le sens de variation de la fonction exponentielle sur ℝ et justifie-le.

Voir la réponse

La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ.

Sa dérivée est elle-même, donc exp'(x) = exp(x). Or exp(x) > 0 pour tout réel x. Une dérivée strictement positive donne une fonction strictement croissante.

Ce que tu vas découvrir

La fonction exponentielle est l'unique fonction dérivable sur ℝ telle que f' = f et f(0) = 1. Son existence et son unicité sont admises.

Pour tous réels x et y, exp(x+y) = exp(x) × exp(y). Cette propriété algébrique sert à transformer les expressions.

Pour tout réel x, exp(x) × exp(-x) = 1. Donc exp(x) est toujours strictement positif.

Pour tous réels x et y, on a exp(x-y) = exp(x) / exp(y) et exp(-x) = 1 / exp(x).