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Calcule ∫₀¹ (x² + 1) dx.
La fonction f(x) = x² + 1 est continue sur [0 ; 1]. Une primitive est F(x) = x³/3 + x. Donc ∫₀¹ (x² + 1) dx = F(1) − F(0) = (1/3 + 1) − 0 = 4/3.
Calcule ∫₁ᵉ ln(x) dx.
La fonction ln est continue sur [1 ; e]. On pose u′(x) = 1 et v(x) = ln(x), donc u(x) = x et v′(x) = 1/x. Par intégration par parties : ∫₁ᵉ ln(x) dx = [x ln(x)]₁ᵉ − ∫₁ᵉ x × (1/x) dx = (e × 1 − 1 × 0) − ∫₁ᵉ 1 dx = e − (e − 1) = 1.
Calcule la valeur moyenne de f(x) = x sur [0 ; 2].
m = (1/(2 − 0)) × ∫₀² x dx. Une primitive de x est x²/2, donc ∫₀² x dx = 2²/2 − 0 = 2. Ainsi m = (1/2) × 2 = 1.
Énonce la relation qui permet de calculer ∫ₐᵇ f(x) dx à partir d'une primitive F de f continue sur [a ; b].
∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a), où F est une primitive quelconque de f.
Deux primitives d'une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d'une constante. Cette constante s'élimine dans la soustraction F(b) − F(a), donc le résultat ne dépend pas de la primitive choisie.
Calcule ∫₀¹ 3x² dx.
1
La fonction 3x² est continue sur [0 ; 1]. Une primitive est x³, car la dérivée de x³ est 3x². Donc ∫₀¹ 3x² dx = 1³ − 0³ = 1.
Calcule la valeur moyenne de f(x) = x sur [0 ; 2].
1
On applique m = (1/(b − a)) × ∫ₐᵇ f(x) dx avec a = 0 et b = 2. Une primitive de x est x²/2, donc ∫₀² x dx = 2²/2 − 0 = 2. Ainsi m = (1/2) × 2 = 1.
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